probodiste ravninskog lika.html





2.2 Probodište ravninskog lika pravcem (bez tragova ravine)

Ravninu možemo zadavati na razne načine. Jedan od njih je isticanje nekog ravninskog lika unutar nje. Zadaci vezani uz ravninske likove uvijek se mogu riješavati tako da odredimo tragove ravnine danog ravninskog lika te nastavljamo riješavati zadatak kao da nam je ravnina zadana svojim tragovima. Ali, kao što ćemo pokazati u ovom poglavlju, često će rješavanje zadataka biti mnogo kraće ako ne koristimo tragove ravnine danog ravninskog lika.

Općenito, razlikujemo dva slučaja, ovisno o položaju danog pravca prema ravninama projiciranja:
  1. Pravac je u osobitom položaju prema ravnini projiciranja
  2. Pravac je u općem položaju prema ravninama projiciranja

  1. Pravac je u osobitom položaju prema ravnini projiciranja

    Ako je pravac okomit na ravninu projiciranja, njegova projekcija bit će točka pa će i projekcija traženog probodišta ležati u toj točki. Drugu projekciju probodišta možemo dobiti pomoću jednog pomoćnog pravca koji leži u ravnini trokuta, a prolazi točkom probodišta.

    Problem: Odrediti točku Q u ravnini trokuta ABC[A(A', A''), B(B', B''), C(C',C'')] koja leži na pravcu q(q', q'') okomitom na ravninu Π 1 (slika 2.2.1).


    Slika 2.2.1
    Slika 2.2.2
    Rješenje:
    • Tlocrtne projekcije svih točaka pravca q leže u tlocrtu pravca q pa vrijedi Q' = q'.
    • Odaberimo pomoćni pravac AQ koji leži u ravnini trokuta te siječe stranicu BC u jednoj točki N.
    • Sjecište danog pravca q i pravca AN određuje traženo probodište Q.
    • Vrijedi, Q'' = A''N'' ∩ q'' (vidi Sjecište).
    • Zamislimo li da je trokut ABC neproziran, vidljivost pravca q u obje projekcije istaknuta je na slici 2.2.2.



  2. Pravac je u općem položaju prema ravninama projiciranja

    Problem: Odrediti točku Q u ravnini trokuta ABC[A(A', A''), B(B', B''), C(C',C'')] koja leži na pravcu q (q', q'') (slika 2.2.3).


    Slika 2.2.3
    Slika 2.2.4
    Rješenje:
    • Pravcem q postavljena je pomoćna projicirajuća ravnina prve skupine Σ1 tako da vrijedi, q'= e1.
    • Projicirajuća ravnina Σ1 presijeca trokut ABC u dužini KL (vidi 2. 1 ).
    • Sjecište dužine KL i danog pravca q određuju traženo probodište P (vidi Sjecište).
    • Zamislimo li da je trokut ABC neproziran, vidljivost pravca q u obje projekcije istaknuta je na slici 2.2.4.

Riješeni primjeri:

  1. Presjek dva ravninska lika

    Problem: Odrediti presječnicu dvaju trokuta ABC[A(A', A''), B(B', B''), C(C',C'')] i PQR[P(P',P''), Q(Q', Q''), R(R',R'')] (slika 2.2.5).


    Slika 2.2.5
    Slika 2.2.6
    Rješenje:
    • Uočimo najprije prema položaju projekcija da trokut PQR probada trokut ABC sa svojim stranicama PQ i PR.
    • Tražena probodišta odredit ćemo prema Primjeru 2 (pravac je u općem položaju prema ravninama projiciranja) postavljajući odgovarajuće ravnine projiciranja stranicama PQ i PR trokuta.
    • Dobivena probodišta označena s K, odnosno L i istaknuta su na slici 2.2.6.
    • Zamislimo li da su oba trokuta neprozirna, vidljivost trokuta ABC i PQR je istaknuta u obje projekcije.




Nikolina Kovačević - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu